分形几何是现代数学非线性科学中的一个重要分支，通过迭代、递归等算法可产生大量风格迥异、图案奇美、变幻无穷的图形或图像。借助于计算机程序，把这些分形图案显现出来，将可能使其在生物形态学、艺术创作设计等研究应用领域得到更为广阔的发展[1 - 3]。如何将分形图案应用于纺织艺术，已成为纺织行业研究的重要内容。文献[4 - 7 ]把采用分形理论中L 系统方法生成的图形运用于纺织品组织纹路和印花图案设计，均取得了良好的实用效果；文献[8 ]也就分形理论中的Mandelbrot 集 （ 下文简称M 集） 应用于数码纹织产品开发做了初步探讨；但将分形图案用于织物印花设计的研究却少有报道。

　　分形理论中的M 集，其艺术图案产生于函数的不断迭代，通过对M 集基本迭代式进行不同的数学变换方法，运用计算机绘图方法，可得到大量精美的 Julia 集图形。这些图案均适用于纺织印花图案设计的新资源。本文对基于分形理论中M 集变化得到的艺术图形的生成原理和变换方式以及在丝绸印花制品上的应用做了研究。

　　1 M 集分形图的生成原理及实现

　　M 集是分形几何学中的一类典型分形集，是用计算机研究二次复动力系统得到的复杂图形。 1. 1 Mandelbrot 集的定义方法在复平面中，迭代表达式为:

　　式中Z 和C 都是复数，由各自的实部和虚部组成。分离Z 和C 的实部和虚部，则:

　　令初始值Z0 = 0 （ 即Z0 = 0 + 0·i ） ，C ≠0 （ 其中 p 和q 在各步迭代中都保持为常数）。迭代计算中，把前一个Z 值的输出作为下一个Z 值的输入，代入 Zk ← Z2k + C 反复运算，得到一连串的复数。每做一次迭代，新的复数就离开前一个复数一段距离，就如同一个点在复平面上跳舞[9]。

　　1. 2 M 集图形的实现原理

　　在复平面的某一部位，令C 作有规律的变化，对不同的C 值进行迭代，如果计算结果达到无穷大，则C 被着成白色，否则，着黑色，这样就显示出 M 集的形状。若将达到无穷大的点，根据其发散速度的快慢用不同色调来表示，就形成一幅极其吸引人的彩色图形。由系统生成的M 集的图形见图1。

　　2 M 集函数变换方法

　　2. 1 高次幂M 集

　　图1 示出最经典的的图形，即迭代式中Z2k的幂指数是2，对于k > 2 的广义Mandelbrot集即高次幂Mandelbrot 集，其集图像更为丰富[10]。图2 示出3 阶M 集到10 阶M 集的图形。

　　2. 2 由基本函数变换得到的M 集

　　对基本函数　的表达式稍加变换，可得到意想不到的效果。

　　2. 2. 1 函数变换

　　1） 改变迭代式中x 与y 的位置。把原来从Zk到Zk +1的迭代过程式中的x2k和y2k改变位置，则转换成:

　　2） 改变算术符号的图形。把原来从Zk到Zk +1的迭代过程式中实部的负号变成正号，变换如下:

　　函数变换后得到的M 集图形如图3（ b） 所示。

　　3） 互换迭代式之后的图形。把原来从Zk到Zk +1的迭代过程式中实部的2xk yk和虚部的x2k- y2k互换，变换如下:

　　函数变换后得到的M 集图形如图3（ c） 所示。

　　2. 2. 2 函数迭加

　　对M 集的二次幂迭代式和三次幂迭代式进行函数迭加变换，得到的图形如图4 （ a） 所示。对M 集的二次幂迭代式和三角函数（ 正弦函数） M 集的三次幂做迭加，得到的图形如图4（ b） 所示。

　　2. 3 三角函数M 集

　　C 。则三角函数和的M 集分形图如图5 所示。

　　2. 4 高阶三角函数M 集

　　将高阶与三角函数M 集结合起来，即可得到高阶三角函数M 集。图6 为高阶三角函数M 集图。图6（ a） ～ （ f） 展示的生成图形依次为:二阶余弦函数、二阶正弦函数M 集、三阶余弦函数、三阶正弦函数M 集、四阶余弦函数、四阶余弦函数M 集的图形。

　　3 M 集图形在蚕丝织物上的印花实验

　　数码导带喷射印花机是目前世界上最新型的数码喷印设备，它吸取传统印花机的优点，采用导带输送染料的方式，使一些原本无法在普通喷印机上喷印的弹力针织面料和毛巾、定位花型、单块羊绒面料、蚕丝等都能在导带机上制出独一无二的花型。同时数码导带喷射印花机还设置了升降功能，以适应不同厚度的面料类型，使喷印的范围更为广泛，也为实际生产提供了更广阔的纺织品图案设计领域。

　　选择图2（ c）、图4（ b） 作为基本图案，经计算机处理后，以bmp 文件形式传送至宏华公司的DBP-1600型数码导带喷射印花机，对素绉缎面料进行活性染料喷墨印花实验，生产的桑蚕丝织物印花样品如图7 所示。

　　4 结论

　　1） 根据分形理论中的Mandelbrot 集计算机图像生成原理，可得到多种图案花型。这些图案花型具有精细的线条结构，色彩鲜艳，装饰性很强，适合纺织印花的艺术表现，具有较强的市场潜力。

　　2） 借助计算机可视化技术，将基于M 集变换设计出的印花图案通过数码导带喷射印花机对桑蚕丝织物进行工艺实验，在织物上较为完美地展现了M 集的可视化信息，具有较强的可操作性，只需通过颜色的改变就可达到多种不同的印花效果。

　　3） 基于M 集的印花图案设计方法与数码导带印花技术的完美结合，带来了纺织印染业中的技术革命，使个性化、小批量、反应快的市场需求得到了体现，同时实现了低能耗、无污染、无噪音的制造过程。

　　来源: 姜会钰，郑春玲，刘素一（来源纺织学报）

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